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Kleine Welt, Große Welt

Von 1967 stammt Stanley Milgrams erstes Briefexperiment, mit dem er das Small-World-Phänomen populär machte.1 Das zweite folgte 1969 zusammen mit Jeffrey Travers.2 In diesem Beitrag geht es darum, dass die Rede von der Kleinen Welt insofern zweideutig ist, als sie offen lässt, ob die Welt ein einziges Netzwerk bildet oder sich aus vielen Netzwerken zusammensetzt.
Milgram versuchte 1967 mit einem Experiment, den sozialen Abstand zwischen zwei beliebigen Personen zu ermitteln. Zu diesem Zweck verteilte er an zufällig ausgewählte Probanden in Omaha (Nebraska) und Wichita (Kansas) Briefe, die an unbekannte Dritte in Boston (Massachusetts) gerichtet waren. Die Versuchspersonen sollten den Brief persönlich an einen Bekannten weitergeben, der ihrer Ansicht nach der Zielperson näher stand. Dieser Mittelsmann sollte ebenso verfahren, bis der Brief sein Ziel erreichte. Nur 64 von 296 Briefen erreichten ihr Ziel, und zwar mit zwei bis zehn Zwischenstationen. Die durchschnittliche Pfadlänge betrug 5,2. Darauf bezieht sich der Slogan »six degrees of separation«3. So entstand die Vorstellung einer kleinen Welt (small world), in der grundsätzlich jeder Mensch auf dieser Welt über sechs Ecken mit jedem anderen bekannt ist. Dabei handelt es aber wohl eher um eine Wunschvorstellung.4 Auch wenn es zwischen den vielen verschiedenen Netzen Brücken geben mag, so sind diese doch längst nicht von allen Knoten erreichbar. Realistischer ist deshalb das Bild einer Welt, die in viele Teilnetze separiert ist.
Netzwerke haben meistens eine modulare Struktur, d. h. sie verfügen über mehrere relativ selbständige Teile, die Subnetz(werk)e in einem größeren Netz bilden. Eine scharfe Unterscheidung zwischen selbständigen Netzen, Subnetzen und gelegentlich auch bloßen Clustern und Cliquen lässt sich nur bei der modellhaften Darstellung in Graphen treffen. Für technische Netze, z. B. für das Internet ist von einem Subnetz die Rede, wenn die Knotenmenge eines Netzsegments untereinander so verbunden ist, dass sie auch ein selbständiges Netz bilden kann, wenn die Verbindung zu anderen Netzteilen oder zu einem größeren Netzverbund aber so gestaltet ist, dass die Abkopplung oder der Zusammenbruch des Subnetzes nicht zu einer Beeinträchtigung oder gar zum Zusammenbruch anderer Netzteile oder des ganzen Netzes führt. Bei realen sozialen Netzwerken verschwimmen die Grenzen.
In einem Graphen kennt man Komponenten. Eine Komponente besteht aus einem oder mehreren Knoten, die untereinander vernetzt sind, die zu anderen aber keine Verbindung haben. Mit einem realen Netzwerk verbindet sich aber die Vorstellung, dass alle Knoten mindestens indirekt miteinander verbunden sind. Von einem sozialen Netzwerk erwartet man in der Regel sogar eine gewisse Mindestdichte. Man betrachtet daher Gruppierungen, die im Graph modellhaft als Teilnetze erscheinen, als selbständig, auch wenn zwischen ihnen eine Brücke besteht, weil diese Brücke für die Masse der Netzknoten schwer zu finden ist. Deshalb ist die Rede von der Kleinen Welt zweideutig. Bei Milgram bezog sie sich auf die ganze reale Welt. Man kann sich diese Welt allerdings kaum als ein einziges soziales Netz vorstellen. Viel näher liegt der Gedanke an eine Ansammlung von vielen selbständigen Netzwerken, die sich teilweise überschneiden. Als selbständig erscheint ein Netzwerk, wenn die Konnektivität zwischen seinen Knoten eine relative Stärke erreicht. Eine einzelne Brücke in eine andere Knotenmenge reicht dann nicht aus, um beide Mengen als einheitliches Netzwerk erscheinen zu lassen. Trotzdem bleibt es bei der Kleinen Welt. Über die Knoten und Kanten mit Brückenfunktion sind die separaten Netze so miteinander verbunden, dass der Weg von einem beliebigen Punkt auf der Welt zu irgendeinem anderen oft über etwa sechs Netze hergestellt werden kann. Das Kleine-Welt-Phänomen gilt aber auch – und das ist praktisch wichtiger – innerhalb der selbständigen oder Teilnetze. Auch hier ist der längste Pfad zwischen zwei Kanten mit durchschnittlich sechs bis sieben im Hinblick auf die oft große Zahl der Knoten und ihre relativ geringe Vernetzung immer noch überraschend kurz.


  1. Stanley Milgram, The Small World Problem, Psychology Today 1, 1967, 61-67. 

  2. Jeffrey Travers/Stanley Milgram, An Experimental Study of the Small World Problem, Sociometry 32, 1969, 425-443. In einer Nachfolgeuntersuchung haben Peter Sheridan Dodds, Roby Muhamad und Duncan J. Watts 60.000 Email-User veranlasst, 18 Zielpersonen in 13 Ländern zu erreichen, indem sie eine Nachricht jeweils an einen Bekannten weitersandten. Sie kamen zu dem Ergebnis, dass es grundsätzlich wohl möglich sei, auch im globalen Maßstab beliebig Zielpersonen über persönliche Netzwerke zu erreichen, und schätzten, dass dazu durchschnittlich fünf Vermittlungsschritte notwendig seien. Die Probanden waren dabei sehr verschieden erfolgreich. Der Erfolg war von sozialen Merkmalen (von denen indirekt die verfügbaren Netzwerke abhängen) und von der Suchstrategie abhängig. Bei den ersten Schritten wurde vor allem nach Personen gesucht, die der Zielperson geographisch nahe waren. Bei den letzten Schritten wurde vor allem nach Vermittlern gesucht, die aus einem ähnlichen Berufsfeld kamen wie die Zielpersonen. Am erfolgreichsten waren Probanden, die professionelle Beziehungen nutzen konnten: An Experimental Study of Search in Global Social Networks, Science 301, 29003, 827-829. 

  3. Nach dem Titel eines Theaterstücks von John Guare, 1990. 

  4. Zur Kritik Judith S. Kleinfeld, The Small World Problem, Society 2002, 61-66. 

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Von der Erdös-Zahl über die Kevin-Bacon-Zahl zur Gunther-Teubner-Zahl

Paul Erdös war ein ungarischer Mathematiker, der zur Netzwerkforschung Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung von Verknüpfungen in einem Zufallsnetzwerk beigetragen hat.1 Erdös war mit etwa 1.500 Veröffentlichungen ungewöhnlich produktiv. Da er die meisten Arbeiten zusammen mit anderen Forschern veröffentlich hatte, kamen Kollegen auf die Idee,2 ihre Wertschätzung des Autors mit einem Spaß zu verbinden, indem sie das um Erdös entstandene Kooperationsnetzwerk als Netzwerk beschrieben. Wer mit Erdös zusammen veröffentlicht hatte, erhielt die Erdös-Zahl 1. Wer nicht selbst mit Erdös, aber doch mit einem seiner Koautoren publiziert hatte, erhielt die Erdös-Zahl 2, usw. Als Hommage an den Namensgeber wird die Bestimmung der Erdös-Zahl für Mathematiker auf einer besonderen Internetseite bis in die Gegenwart fortgeführt.
Populär geworden ist die Netzwerkanalyse von Kooperationsbeziehungen mit der Kevin-Bacon-Zahl. 1994 erfanden vier College-Studenten das Bacon-Spiel. Kevin Bacon (* 8. Juli 1958) ist ein prominenter amerikanischer Filmschauspieler. Die Studenten behaupteten, Bacon sei der wahre Mittelpunkt Hollywoods, und erboten sich, in einer Fernsehshow für jeden Schauspieler X einen Film zu nennen, in dem dieser zusammen mit Bacon gespielt hatte. Immerhin war Bacon in über 50 Filmen rund 1800 Schauspielerkollegen begegnet. Sollte es aber keinen gemeinsamen Film geben, wollten sie einen Film nennen, in dem Bacon mit einem anderen Schauspieler C zusammen aufgetreten war, der wiederum zusammen mit X gefilmt hatte. Sollte es selbst daran fehlen, würden sie auf die Filme verweisen, in denen B mit C, C mit D und schließlich D zusammen mit X ausgetreten waren, usw. Als Ausgangsknoten des Netzwerks hat Bacon selbst die Kevin-Bacon-Zahl (KBZ) 0. Als Kanten dienen die Filme, in denen zwei Schauspieler zusammen gespielt haben. Schauspieler, die mit Bacon zusammen in einem Film aufgetreten sind, erhalten die KBZ 1. Wer nicht selbst mit Bacon zusammen gefilmt hat, sondern nur mit einem Schauspieler, der zusammen mit Bacon aufgetreten ist, hat KBZ 2, usw. Auf der Internetplattform The Oracle of Bacon kann man das für beliebige Namen ausprobieren. So hat z. B. Gwyneth Paltrow die KBZ 2, denn sie war 1998 zusammen mit William Bogert in »A Perfect Murder« aufgetreten, der wiederum 1980 in »Hero at Large« mit Bacon zusammengespielt hatte.

Das bedeutet also, dass 2.511 Schauspieler mit Bacon zusammen aufgetreten sind, 26.2544 zusammen mit einem, der mit Bacon in demselben Film war usw. Ein Durchschnitt für die KBZ lässt sich folgendmaßen errechnen:
[(01)+(1∙2.511)+(2∙26.2544)+(3∙83.9562)+(4∙20.4764)+(5∙15.344)+(6∙1.397)+(7∙204)+(8∙32)]
./.
(1+2.511+26.2544+839.562+204.764+15.344+1.397+204+32)
= 3.952.127 ./. 1.326.359 = 2,980.3
Natürlich war oder ist Bacon nicht das Zentrum Hollywoods. Die Pfadlänge von durchschnittlich 2,980 ist nur das Ergebnis des Kleine-Welt-Phänomens. Dennis Hopper liegt mit einer durchschnittlichen Pfadlänge von 2,802166 an erster Stelle. Bacon folgt erst auf Platz 444. Der relativ kurze Pfad zwischen je zwei Filmschauspielern deutet auf einen hohen Clusterkoeffiienten hin. Im Übrigen ist ihr Aussagewert begrenzt. Die Netzwerkanalyse stellt jedoch Methoden bereit, die gehaltvollere Angaben über Cliquenbildung, Einflüsse, Prestige oder gar Autorität, Zentralität oder Hierarchien gestatten. Dazu wären allerdings weitere Daten notwendig, insbesondere zu der Frage, wie oft kooperiert worden ist.
Analog kann man für alle Personen – Politiker, Wissenschaftler, Facebookmitglieder usw. ihre Nähe zu anderen bestimmen, soweit man über die notwendigen Daten verfügt. So haben die Düsseldorfer Psychologen Jochen Musch und Dennis Winter mit Hilfe einer Literatur-Datenbank eine Koautorenanalyse für 51.808 Psychologen errechnet und so die »Die kleine Welt der Psychologie« abgebildet. Dort misst der kürzeste durchschnittliche Pfad 4,33, der längste 15,02, und der Durchschnittwert beträgt 6,71.
Juristen publizieren verhältnismäßig selten gemeinsam. Der Pfad zwischen zwei Autoren wäre daher vermutlich länger. Um realistischere Zahlen zu erhalten, könnte man außer gemeinsamen Veröffentlichungen auch zählen, ob sie gemeinsamen an Sammelbänden und Festschriften beteiligt waren. Ich wollte wetten, dass sich Gunther Teubner als Mittelpunkt der Rechtstheorie herausstellen würde. Zum Beweis wären also zunächst alle direkten Koautoren (in dem eben genannten weiteren Sinne) zu zählen. Sie erhalten die GTZ (Gunther Teubner Zahl) 1. Ich schätze diesen Kreis auf etwa 100. Sodann wären die Koautoren der Koautoren mit der GTZ 2 zu ermitteln usw. Die Datensammlung ist nicht einfach, da sie sich mit dem vorhandenen bibliographischen Material schwerlich automatisieren lässt. Aber für die nächste Teubner Festschrift wäre das vielleicht eine lohnende Aufgabe, lohnend insbesondere dann, wenn man der Schwierigkeit, die Grundmenge der Rechtstheoretiker zu definieren dadurch ausweicht, dass man nur Autoren mit einer GTZ unter drei zu Rechtstheoretikern erklärt.


  1. Paul Erdös Alfred Rényi, On the Evolution of Random Graphs, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5, 1959, 17–61. 

  2. Die Idee stammt von von Casper Goffman: And What Is Your Erdos Number?, The American Mathematical Monthly, 76, 1969, 791. 

  3. Tabelle und Berechnung nach dem Stand vom 24. Juni 2011 auf der Seite http://oracleofbacon.org/center.php die ihre Daten aus der Movie Data Base entnommen hat. 

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